lundi 1 février 2010

Les difficultés actuelles de la physique

Montage subjectif d’extraits de textes et de déclarations
« Les discussions recomposées sont au débat de fond ce que la pierre reconstituée est aux blocs de granit. »
      Maxime de Margeride
Bernard Chaverondier de Saint-Mandrier-sur-Mer (83)Professeur agrégé de Mécanique et ingénieur des Arts et métiers, Bernard Chaverondier est en outre intéressé par la physique et plus particulièrement intrigué par la question de l’écoule­ment irréversible du temps, par le principe de causalité ainsi que par la non-localité de la mesure quantique. Travaux scientifiques et recherches en ce domaine (qu’il consulte à titre de loisir en tant qu’amateur mais avec un sérieux suffisant pour pouvoir en discuter de façon pertinente) l’ont amené à s’intéresser aux travaux de John Bell, de Mayeul Arminjon, d’Alan Kostelecky et de quelques autres scientifiques professionnels envisageant l’existence d’un éventuel référentiel privilégié, indirectement observable (par des effets gravitationnels selon M. Arminjon ou encore par la violation des inégalités de Bell par exemple).

Cette éventuelle violation de l’invariance de Lorentz (cachée par exemple à l’échelle de Planck) pourrait dès lors compléter la modélisation des symétries relativistes des phénomènes physiques (pertinentes, quant à elles, à notre échelle d’observation macroscopique). Le questionnement de B. Chaverondier concerne donc l’interprétation éventuelle des symétries relativistes comme l’expression d’une sorte d’état d’équilibre en un sens restant à définir physiquement et mathématiquement. Dans cette hypothèse, cet état d’équilibre reposerait sur une fuite d’information à l’échelle de Planck (et une entropie associée) plus fine et à caractère moins anthropocentrique que l’irréversibilité de l’écoulement du temps perçue à notre échelle macroscopique (reposant, quant à elle, sur l’entropie de Boltzmann). Dans une telle hypothè­se, il existerait donc une sorte d’écoulement irréversible du temps objectif et une irréversibi­lité objective de la mesure quantique. Elle reposerait alors sur une entropie plus fine et moins dépendante de l’observateur macroscopique que l’entropie de Boltzmann. Certains travaux de Gerard ‘t Hooft portent d’ailleurs sur un éventuel déterminisme quantique et une irréversibi­lité de la mesure quantique cachée à l’échelle de Planck. Cela montre la légitimité de ce type de questionnement, les questions posées par B. Chaverondier sur la nature de l’irréversibilité de la mesure quantique et sur l’interprétation de l’expérience du choix retardé ne semblant pas encore posséder de réponse unanimement acceptée par la communauté scientifique.

Un questionnement orienté dans une direction, on le voit – surtout pour ceux qui commencent à connaître la thèse trilectique – radicalement différente de celle en vigueur sur ce site, où la visée consiste à éliminer le temps de la base théorique pour associer les quatre interactions connues dans une description unifiée d’une évolution relationnelle de la masse à l’énergie, et inversement de l’énergie à la masse.

Malgré tout, et ce n’est certainement pas là une source d’étonnement dénuée de signification, les deux suggèrent d’envisager « l’existence » d’un éventuel référentiel privilégié. L’espace-temps d’Aristote offrirait à la première hypothèse un cadre mathématique compatible avec d’éventuelles violations cachées de l’invariance de Lorentz tout en permettant d’y exprimer les symétries relativistes gouvernant les phénomènes physiques à notre échelle d’observation. Pour ce qui est de la trilectique par contre, ce référentiel privilégié serait le zéro Kelvin (0 K), sorte de chaos primaire de champ et de matière, synthétisant à la fois les propriétés algébriques reconnues au zéro ainsi qu’à l’infini.

Lancement. « Le problème de la mesure met en évidence les difficultés à établir un lien entre les postulats de la Mécanique quantique et le monde tel qu’il semble nous apparaître. »

Chaverondier. Certains pensent que cela vient du fait que nous essayons de comprendre la physique quantique en nous appuyant sur une intuition et sur un vocabulaire fondés sur notre expérience vécue. Or, cette expérience nous donne des post-jugés inadaptés à la compréhen­sion des phénomènes quantiques. Pour ma part, j’ai le sentiment qu’il y a un bon nombre de questions théoriques non résolues et qui concernent :
   ●   le principe de causalité,
   ●   la notion de phénomène irréversible,
   ●   l’écoulement irréversible du temps,
   ●   les considérations de non-localité quantique,
   ●   le second principe de la thermodynamique,
   ●   la notion de mesure quantique (et d’appareil de mesure),
   ●   la notion de système,
   ●   la compatibilité entre Mécanique quantique et Relativité, cela avant même d’aborder la question de la gravitation et malgré l’efficacité prédictive incontestable de la méca­nique quantique relativiste.

Les Terres Bleues. J’apprécie particulièrement cette façon claire et synthétique de sérier les difficultés théoriques de fond. Je n’ai pas la compétence pour juger si le tour de la problémati­que est effectué de manière complète, mais à la simple lecture de cette liste, on peut d’ores et déjà évaluer l’ampleur de la nécessaire mise en cohérence à venir de nos concepts. Ceci, bien entendu, sans remettre en cause l’apport de la physique quantique, car à mon avis le problème ne se situe pas là, au contraire.

BC. Quant à moi, j’estime que si, mais sans restreindre la problématique à la seule physique quantique. Elle n’est pas plus en cause que tout le reste de notre physique dans les difficultés que la science actuelle doit surmonter pour modéliser entièrement et correctement la notion de l’écoulement irréversible du temps notamment.

LTB. Ce qui doit évoluer selon moi, c’est notre compréhension du monde. Il ne s’agit pas de se replier frileusement sur une ancienne vision des choses. L’enjeu consiste donc à faire naître de nouvelles représentations à travers un élagage–réaménagement de la pensée.

BC. Et aussi notre connaissance et nos modèles des phénomènes physiques, mais bon, quand est-ce qu’il deviendra possible de résoudre les problèmes actuels ? Quels sont les obstacles à surmonter pour y parvenir ? Je suppose, au vu des difficultés que l’on connaît à ce jour, qu’ils sont à la fois mathématiques et expérimentaux, autrement dit « la totale ».

LTB. À mon avis, absolument pas, il ne reste qu’à réorganiser nos conceptions, c’est dire si je pense que l’on n’est pas loin d’un aboutissement, avec la Gravitation quantique à boucles par exemple, où là-aussi il reste encore à "préciser" cette notion de temps. Alors, le temps ? – Oui, pourquoi pas ? Mais pour avancer droit, pas de détours : « de l’obstacle, faire le passage ».

BC. Mon impression est qu’il y a sur ces sujets un univers entier à découvrir, et qu’il nous est, pour l’instant du moins, inaccessible. Qu’est-ce qui nous permettra de révéler :
   ●   d’abord, ce qu’est un appareil de mesure ? Les articles de Roger Balian sur ce point sont très intéressants en ce sens qu’ils permettent de proposer une interprétation réa­liste de la mesure, mais je ne vois pas bien comment ils pourraient s’étendre à des situations dans lesquelles se manifeste la non-localité.
   ●   ensuite, ce qu’est un phénomène irréversible ? Alors que presque toute notre physique est réversible au niveau fondamental, les réponses actuelles aux arguments objectés à Boltzmann par Loschmidt et Zermelo n’étant que des réponses pragmatiques.
   ●   enfin, ce qu’est le principe de causalité ?

LTB. Le temps, le temps, le temps … Nous avons tous ensemble un problème théorique avec cette notion. Il reste alors à la travailler et à la retravailler jusqu’à ce qu’elle nous permette de rendre compte convenablement de toutes les observations. Pour être explicite, et en reprenant la phrase de Bénédetto « de l’obstacle, faire le passage », nous devons attaquer ce concept au plus profond, et à la dynamite si besoin est, afin de dégager la voie.

Assistance. Alain Connes semble avoir une réponse conceptuelle : un espace non-commutatif engendre son propre temps, qui de cette manière justifie l’apparition naturelle du temps.

BC. Partir des travaux d’Alain Connes est une bonne idée. La non-commutativité de l’algèbre des observables fait émerger le temps probablement parce qu’elle interdit à l’observateur d’un électron dans un état de spin horizontal, par exemple, de connaître ce que va être le résultat de la mesure de son spin vertical. Au même titre que le second principe de la thermodynamique, la non-commutativité modélise les limitations d’accès de l’observateur à l’information. Ces fuites d’information loin de l’observateur seraient à l’origine de l’écoulement irréversible du temps perçu à notre échelle, certainement aussi à la base du principe de causalité et du fait que nous n’avons pas de souvenirs du futur alors que nous en avons du passé.

LTB. La référence proposée à la géométrie non-commutative arrive, je pense également, fort à propos, et je partage l’idée qu’elle peut constituer une excellente base de travail. Cependant, il paraît essentiel de souligner que l’origine naturelle du temps à travers la non-commutativité doit être comprise comme concernant la flèche et pas l’aspect métrique. Saisir l’importance de cette différence est vraiment l’élément capital pour éviter le « contresens ».

BC. La différence, c’est que l’observateur enregistre de l’information à travers sa mesure. Or, cette acquisition–enregistrement d’information est un phénomène irréversible. Nous n’avons donc qu’à savoir comment relier finement acquisition d’information et irréversibilité.

LTB. Au niveau quantique, nous n’avons pas affaire à un observateur qui va à la "pêche" aux informations, nous avons affaire à deux acteurs qui interagissent, l’un des deux étant appelé l’observateur, l’autre le phénomène observé. L’acceptation de cette prémisse-là est à mon avis une règle pareillement indispensable afin de pouvoir développer une réflexion sur le sujet qui ne dérive pas rapidement vers l’irrationnel.

BC. Si on tend à identifier la façon dont nous sommes contraints à ce jour de nous y prendre, pour axiomatiser sans incohérence la théorie avec la nature des phénomènes physiques sous-jacents qui engendrent les effets observés, c’est un vrai renversement de situation : ce n’est plus la physique qui gouverne les phénomènes, observateurs et appareils de mesure compris, mais le prélèvement d’information par l’observateur qui devient leur source unique. Accorder une signification trop concrète à cette axiomatique, ou lui attribuer une valeur de vérité abso­lue débordant largement de son objectif purement prédictif, pourrait pousser à croire que c’est nous, êtres humains conscients, qui créons l’écoulement irréversible du temps.

LTB. Effectivement, la prudence est de mise, car jusqu’à plus ample informé, il s’agit juste de comprendre ou d’interpréter des interactions, et pas de rechercher une ultime frontière … Quant à l’acquisition de l’information – pertinente ou non – c’est une idée qui me gêne parce qu’elle présuppose une information qu’il ne resterait plus qu’à recueillir. Or ce n’est pas ainsi. Au niveau quantique, l’observateur entre dans le système, il a un vrai rôle dans l’apparition de l’information, il ne se contente pas "d’observer" car là où il se trouve, l’observation fait partie de l’interaction. L’équilibre antérieur du système est soudain rompu, la fonction d’onde s’ef­fondre. La situation potentielle est irréversiblement devenue une situation passée. Et il n’a pas été nécessaire qu’il sache qu’il avait interagi, il a suffit qu’il l’ait fait.

BC. En tout cas, on obtiendrait une explication et une base de modélisation plus satisfaisante de l’écoulement irréversible du temps et de l’irréversibilité de la mesure quantique si, à l’ave­nir, on finissait par découvrir un moyen moins anthropocentrique que la croissance de l’entro­pie de Boltzmann « des systèmes isolés ». Pourquoi pas une fuite d’information à l’échelle de Planck ? Car je ne vois pas comment obtenir une interprétation à la fois réaliste et locale de la mesure quantique sans prévoir de descendre au niveau où se joue cet indéterminisme.

LTB. Il me semble aussi que c’est au niveau de l’échelle de Planck que ces choses-là doivent se produire. Mais ce n’est pas à ça que je pensais lorsque j’ai parlé d’ultime frontière, car très généralement – et dans ce cas précis spécialement – je n’imagine pas une limite à l’univers. Il faut inverser le sens du mot réalité, en donner une définition quantique et l’étendre à l’univers macroscopique après. L’acception classique de ce terme est aujourd’hui obsolète.

BC. Et pour résoudre les problèmes qui demeurent relativement à la question de la mesure et de l’écoulement irréversible du temps, il faudra pouvoir observer et modéliser les interactions que nous ne connaissons pas encore, à l’origine de l’irréversibilité des évolutions. Jusqu’à ce que l’on y parvienne, et ce n’est probablement pas demain que cela va se produire même si les physiciens progressent sur cette difficile question, nous ne saurons pas dire ce qu’est vraiment l’irréversibilité de l’écoulement du temps.

Assistance. Dans le cas de la physique quantique, on lutte contre son propre sens commun, et ce n’est pas en refusant de procéder à ce constat que l’on pourra un jour trouver des solutions.

LTB. Je persiste à penser qu’une mise en cohérence des concepts, allant au-delà de la science mais accomplie à partir de la science avec les apports inégalés de la physique actuelle, est une affaire de plus en plus urgente dans laquelle les scientifiques ont un rôle prépondérant à jouer. Mais mon principal souci, c’est que de ce côté on ne voit rien venir. On dirait qu’il y a comme une appréhension devant l’immensité de la remise en cause que cette tâche implique.

BC. Pour quelle raison y a-t-il un problème scientifique à résoudre, et non pas uniquement de petits ajustements de vocabulaire à faire, ou une façon à découvrir de mieux expliquer ce que l’on sait déjà ? — Parce que sans ça, à cause de la violation des inégalités de Bell, il n’est pas possible de concilier la Relativité restreinte avec une interprétation de la mesure dans laquelle ce sont les appareils et non les observateurs humains qui modifient l’état du système observé.

LTB. Naïvement, je traduis : "l’évolution de l’état du système est ce que nous étudions". Puis tout aussi candidement, je le comprends comme étant donc l’objet de l’étude. Mais pour moi, c’est très précisément cela qui disparaît avec les observables quantiques. L’information ne se trouve pas dans le vecteur d’état ni dans la fonction d’onde, elle est produite par l’interaction.

BC. L’interprétation que tu proposes est incompatible avec la théorie quantique actuelle. c’est ce que l’on appelle l’interprétation réaliste de la mesure, qui consiste à admettre qu’elle est un phénomène physique objectif d’interaction du système observé avec l’appareil de mesure dont elle détermine le résultat qui ensuite est recueilli par l’observateur.

LTB. Je crains fort de ne pas pouvoir accepter ce tour de passe-passe parce qu’il ne s’agit en aucune façon de simples adaptations de vocabulaire. Avec la physique quantique, ce sont les termes-mêmes de la question qui changent. Il n’y a pas "un phénomène physique d’interaction entre un système observé et un appareil de mesure qui se termine par un résultat de mesure", l’interaction entre le système observé et l’appareil de mesure constitue le phénomène, d’où est ensuite extraite l’information. Combien de fois encore 80 ans avant de noter ça ?

BC. Si tu estimes que l’on peut considérer la mesure quantique comme le résultat de l’interac­tion physique objective d’un appareil de mesure avec le système observé et que l’information est ensuite recueillie par l’observateur – c’est ce que je pense moi aussi, mais c’est un point de vue minoritaire – alors il faut présenter une nouvelle théorie car cette interprétation rompt la chaîne infinie de Von Neumann au niveau de l’appareil de mesure, ce qui conduit à une viola­tion du caractère déterministe, local, unitaire et réversible de ces évolutions.

LTB. Merci pour la clarté et l’honnêteté de tes synthèses qui permettent à la discussion de ne pas tourner en rond, et de situer les aspects sur lesquels il convient de s’expliquer davantage, parce que si les points de vue sont proches, ils restent différents. Bon, dernière tentative : oui, il est permis de considérer l’interaction physique comme étant objective, mais ce qui ne l’est pas, c’est de considérer que préexiste à elle des « objets en eux-mêmes » que l’on qualifierait l’un d’observateur conscient ou d’appareil de mesure, et l’autre de système quantique.

Assistance. On dirait que le concept d’information quantique tel que déjà on l’entrevoit ici est appelé à jouer un grand rôle dans les modélisations futures. Impasse ou piste à explorer ?

BC. La thèse de Grinbaum pilotée par Michel Bitbol * repose sur l’idée que la théorie doit être refondée sur une base informationnelle considérant, entre autres, l’émergence d’information à l’issue de la mesure comme un axiome. Cela ne signifie pas la fin de l’histoire, mais juste que le choix de l’approche informationnelle pourrait bien être à ce jour la seule alternative à notre disposition pour formaliser sans incohérence ce que nous observons.

(*) Lire à ce propos le commentaire en date du 27 février 2010.

LTB. Je crois y déceler une certaine précipitation à traduire dans un sens particulier, celui du rôle déterminant de l’observateur, les balbutiements d’une théorie quantique informationnelle très prometteuse à condition de ne pas lui faire dire autre chose que ce qu’elle exprime. C’est un peu dommage de ce point de vue. Toutefois, je trouve qu’elle contient une quantité inouïe d’idées intéressantes et novatrices, tellement que j’en viens à me demander de quelle manière il est possible de frôler d’aussi près une hypothèse fondatrice et de ne pas la formuler.

BC. À noter quand même que l’approche de Grinbaum, si elle ne résout pas le problème de la mesure, parvient à le contourner en intégrant l’obtention d’information par mesure quantique au niveau de ses axiomes. Le problème devient alors méta-théorique, c’est le terme employé, et sort de la théorie pour rejoindre le champ de la philosophie – ou de la métaphysique si l’on préfère – en attendant que des observations plus fines lui permettent de réintégrer le champ de la physique. La reconstruction proposée par Alexéi Grinbaum s’effectue sans avoir à se posi­tionner sur cette question, et ne permet pas non plus d’y répondre. Il n’a pas besoin de savoir si la modification d’état quantique (donc l’information enregistrée sur le résultat de la mesure à l’issue de cette modification) se produit seulement lors de l’interaction de l’observateur avec l’appareil de mesure ou au contraire s’il s’était déjà produit lors de l’interaction de l’appareil de mesure avec le système observé. De façon un peu caricaturale, la reformulation proposée par Grinbaum commence quand la mesure quantique est terminée. Nul besoin de savoir qui a cassé la chaîne infinie de Von Neumann. Il part du constat que cette chaîne est rompue à la fin de la mesure ; il ne vise pas à modéliser par qui ou comment ; et « ça dissout le problème ».

LTB. Je pense avoir de ce texte une interprétation à peu près similaire, et je lui reconnais bien volontiers toutes ces qualités-là. Ajoutons néanmoins qu’il – Alexéi Grinbaum – y écrit aussi :
   ●   Le premier et crucial présupposé philosophique fait dans la thèse est que le monde peut être décrit comme une « boucle des existences » (Wheeler). Cette expression est dénuée de tout engagement ontologique : l’accent est placé sur le mot « décrit » et non pas sur « monde ». (…)
   ●   (…) Toute coupure sépare l’objet de la théorie des présupposés de la même théorie. Une fois la coupure donnée, certains éléments de la boucle deviennent l’objet d’étude de la théorie, d’autres restent dans la méta-théorie de cette théorie. En changeant l’en­droit où est effectuée la coupure, il est possible d’échanger les rôles de ces éléments : ceux qui étaient explanans deviennent explanandum et l’inverse. Il est important de noter que la coupure a été fixée, c’est une erreur logique de se poser des questions qui n’ont un sens que par rapport à une autre coupure de la boucle.

L’ennui, c’est que l’information est posée comme ayant une "existence" indépendante. Or, se situer dans une approche relationnelle implique de ne pas s’appuyer sur une formulation telle qu’énoncée dès le premier axiome. Dit autrement, l’information représentant la coupure entre l’avant et l’après qui donnent son sens au temps, il est impossible de couper sur la coupure. Il ne serait par contre pas juste de se l’imaginer en dehors des observables qui l’entourent.

BC. Dans l’article de Rovelli et Martinetti, un flot temporel apparaît grâce à un observateur de durée de vie finie et à l’algèbre non-commutative des observables du diamant de Lorentz (bi­cône de causalité relativiste de l’observateur, une pointe à sa naissance, l’autre à sa mort), cela dans le cadre d’une théorie quantique des champs quadri-dimensionnelle conformément inva­riante dans l’espace-temps de Minkowski, et brise ainsi la covariance relativiste. Cela permet de faire émerger une notion d’écoulement du temps privilégié dans un espace-temps qui à lui seul ne le permet pas puisque le référentiel privilégié relatif à ce flot temporel rentre en conflit avec l’équivalence nécessaire entre les divers écoulements du temps associés aux référentiels inertiels. On voit que la notion d’écoulement du temps ne peut guère, pour l’instant, se passer d’observateur, c’est à dire de thermodynamique sous sa forme actuelle.

LTB. L’idée géniale de Rovelli consiste, d’après moi, à liquider le temps, pour ne pas dire le tuer. Mais pourquoi s’entêter ensuite à vouloir le faire revenir tel quel au niveau macroscopi­que. Le bon plan consisterait à se contenter de faire entrer la flèche au niveau quantique, puis de traiter la durée comme ayant une nature uniquement spatiale. Ses réseaux et autres mous­ses de spins auraient d’un coup sans aucun doute une plus fière allure.

BC. Le document de Rovelli et Martinetti que j’ai signalé n’a aucun rapport avec les mousses de spin. Il est en relation avec la géométrie non-commutative d’Alain Connes.

LTB. N’y a-il vraiment aucun rapport entre les travaux de Rovelli et Connes, ceux de Rovelli et Martinetti et ceux de Rovelli et Smolin ? Non, là je ne suis pas sérieux car d’après ce que je constate, tous les exposés, résumés ou références que tu introduis dans le débat sont amenés avec une honnêteté remarquable vis-à-vis de ceux à qui ils sont empruntés. Par contre, il faut admettre que les atomes constituant l’observateur ou l’appareil de mesure sont au moins aussi "quantiques" que les éléments du système observé. D’où l’intérêt du terme de coupure afin de pouvoir dire cette « réalité » qui persiste toujours à être insaisissable :
   ●   Répétons-le, on ne peut pas couper sur la coupure.
   ●   Une coupure possède deux côtés. En termes informationnels c’est plus qu’approprié.
   ●   Totalement dépourvue d’épaisseur, elle ne s’oppose pas au franchissement.
Mais elle ne sépare pas la théorie de la métathéorie dans le but de dissoudre le problème de la mesure, elle en est la possible réponse scientifique ! Elle ne sépare pas observateur et observé, elle sépare observateur–et–observé–avant d’observateur–et–observé–après. Plus de problème de conscience de l’observateur ou de sa non-conscience. La chaîne de Von Neumann n’est pas rompue, elle est scindée en deux continuités en miroir (en bicône ?) situées de part et d’autre de la coupure, les observables. La coupure est en fait la symbolique de « l’instant présent ».

BC. Selon moi, la démarche de A. Grinbaum et M. Bitbol. consiste à déterminer ce qu’il faut mettre comme ensemble minimal d’hypothèses tirées des faits d’observation, en ne cherchant surtout pas à savoir ce qu’est "réellement" (ontologiquement) une mesure quantique, cela sans présupposé philosophique ni métaphysique sur la nature de cette mesure, pour obtenir ensuite les outils fournissant des prédictions que l’on sait pertinemment conformes à l’observation. Ils se soucient donc exclusivement de ce qui est directement observable et rejettent en dehors des fondements de la théorie ce qui n’est pas nécessaire à sa reconstruction. La question de savoir, en particulier, comment l’information émerge de la mesure n’en fait pas partie.

LTB. Pour développer l’argument d’une séparation entre futur et passé, il suffirait par la suite de s’entendre sur la qualification des observables. Si ce qui en ressort est un espace-temps (ou espace-durée) à quatre dimensions voire davantage, ce ne sera plus en tout cas celui de Min­kowski, et s’il s’agit d’une relation alliant les quatre interactions connues, et schématisable en tant que surface de séparation entre deux espaces emplis chacun ou de masse-énergie ou bien d’énergie-masse, seule une représentation mathématique complexe ou autre … sera alors apte à en rendre compte. Quoi qu’il en soit, le temps ne disparaît pas de la physique, il n’est sim­plement plus posé comme préalable. En tant que flèche, il découle de la non-commutativité, et s’il possède en tant que durée une ou trois dimensions spatiales, c’est le choix ultérieur de mo­délisation qui le dira. Une révolution du point de vue épistémologique donc, avec la rentrée de l’expérience à la place de l’intuition spatio-temporelle habituellement acceptée.

Conclusion. Quelques bouleversements majeurs en perspective, et de quoi remettre en cause nombre de "certitudes" scientifiques profondément ancrées.
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1 commentaire:

Les Terres Bleues a dit…

(De la part d'Alexei Grinbaum)

Bonjour,

Sans entrer dans le fond du sujet, je veux juste préciser que ma thèse n'est ni "pilotée" ni écrite en consultation avec M. Bitbol, qui n'était à l'époque qu'un collègue au CREA et membre du jury de cette thèse. Nous n'avons jamais travaillé ensemble.

La thèse est maintenant bien évidemment dépassée par d'autres travaux plus récents que je mets à votre disposition.

Cordialement,
Alexei Grinbaum.

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